Por Miquel Pérez-Sánchez, Doctor arquitecto

Características conocidas

Una pirámide singular

El codo real (cr), de 0,5236 m, fue su principal unidad de medida.

El lado de la base de la pirámide medía 440 cr (230,387 m) y la altura de la misma era de 280 cr (146,610 m). No obstante, hay que añadirle 1 cr de la altura del zócalo hasta completar un total de 281 cr (147,134 m) de altitud. El ángulo de inclinación con la base se había estimado hasta ahora en 51,85 grados con una oscilación en más o en menos de 1 minuto de arco (51,85º ± 1’) a partir de la medición de la hilera de bloques originales de recubrimiento que permanecen en su cara norte.

Y hasta ahora se conocían dos características que no se hallan en ninguna otra pirámide egipcia:

1. Posee un zócalo donde se asienta la pirámide, que tiene, justamente, 1 cr de altura.

Este hecho sugiere que sus sacerdotes-arquitectos querían darnos a conocer, a las generaciones futuras, la unidad de medida con la que proyectaron y construyeron el monumento, para posibilitar su estudio y comprensión.

La base del zócalo sobresale ligeramente de la pirámide y tiene una inclinación de 75º exactos (fig. 4).

2. Las apotemas que son las alturas de los triángulos de las cuatro caras laterales que definen la pirámide, se hallan ligeramente rehundidas hacia el interior de las caras (fig. 6), de tal forma que quedan partidas en dos.

Este descubrimiento se lo debemos al arqueólogo británico William Flinders Petrie [1]

En esta foto de la RAF, la luz rasante del equinoccio remarca las ocho semicaras.

Figura 6. En esta foto de la Royal Air Force británica, la luz rasante del equinoccio remarca las dos semicaras del sur de la Gran Pirámide.

Esta rareza en la estructura de la pirámide fue recogida en el libro del físico y matemático francés André Pochan, El enigma de la Gran Pirámide [2]. Este autor llamó efecto relámpago al fenómeno que produce la luz al saltar repentinamente de una semicara de la Gran Pirámide a la otra durante el amanecer y el atardecer de los equinoccios de primavera y otoño, por lo que esta singularidad geométrica debería servir para señalarlos.

Este logro extraordinario de los sacerdotes-arquitectos de la Gran Pirámide no tiene parangón en la Historia de la Arquitectura, porque transforma a este monumento de forma singular en un marcador equinoccial.

 

Una doble cronología

Hasta ahora se había fijado la duración de las obras en 23 años, coincidiendo con el reinado de Keops, para el que se había establecido una doble cronología: de 2551 a 2528 aC. o de 2589 a 2566 aC., fechas que en la notación astronómica [3] corresponden a los años -2550 a -2527 y -2588 a -2565.

Diversos especialistas en construcción no se explican cómo pudieron levantarla en un periodo tan corto de tiempo con los medios que hasta ahora se les suponen.

Además, la técnica de construcción de pirámides era relativamente reciente, ya que la primera pirámide en piedra fue construida por el arquitecto Imhotep en Saqqara para el faraón Djoser entre -2630 y -2611, menos de un siglo antes.

Incluso Egipto era un estado relativamente joven, ya que se estima que su unificación se produjo entre los años -3200 y -3000, mientras que el inicio del periodo dinástico se puede fechar hacia -2900.

Por todo ello, aún sorprende más la gran capacidad de sus sacerdotes-arquitectos, así como la decisión del faraón Keops de movilizar a todo el reino para levantar un monumento de 2,5 millones de m3 de piedra tallada. Y recordemos que una vez construida la Gran Pirámide, la civilización del Antiguo Egipto todavía duró una eternidad: 2.500 años.

Para enmarcar históricamente esta obra, recordemos que en el mismo siglo –XXVI, más al norte, en el Mediterráneo Oriental, se iniciaba el periodo Minoico primitivo o antiguo de Creta, la única de las civilizaciones contemporáneas de la Gran Pirámide que se proyectó hacia el mar.

Según Herodoto [4], “Egipto es un don del Nilo”. Pero en aquel tiempo otras civilizaciones coetáneas de las pirámides también nacieron asociadas al cauce de los ríos. Así, en la Baja Mesopotamia, entre el Tigris y el Éufrates floreció Sumeria, una civilización que en la segunda mitad del IV milenio a. C. ya conocía la rueda y la escritura, y que se hallaba en su segundo periodo protodinástico. Y en el valle del Indo se desarrollaba la cultura de Mohenjo-Daro, una ciudad planificada que contenía redes de distribución de agua y alcantarillado.

Pero ninguna de ellas duró tres milenios, ni dejó una huella comparable a la del Antiguo Egipto.

 

Unos conocimientos científicos desconcertantes

Se había documentado la posible presencia de tres importantes números matemáticos en la Gran Pirámide:

1. El Número Pi (Π = 3,1416) es aquel que al multiplicarlo por el diámetro de una circunferencia, nos permite calcular el perímetro o longitud de la misma.

A través de Π también se puede calcular su área, así como la superficie y el volumen de la esfera. Tiene por valor 3,1415926535, una cifra que suele expresarse como a 3,1416. Simbólicamente sería, pues, el Número de las Esferas.

2. El Número de Oro, Sección Áurea, Divina Proporción o Número Fi (Φ = 1,6180) se halla en la naturaleza y en la creación, ya que las proporciones humanas, algunas plantas o las conchas de algunos moluscos siguen sus leyes internas. Es por ello que se le considera la proporción de la belleza.

Es igual a (1 + √5)/2, por lo que su valor es 1,6180339887, una cifra que se expresa como 1,6180.

Figura 7. La proporción del Número de Oro.

Su cuadrado y su inverso nos ofrecen una propiedad que sólo cumple el Número de Oro, ya que Φ2= 2,6180 y, a la vez, 1/Φ = 0,6180.

Es decir, el Número de Oro más 1 es igual a su cuadrado (Φ + 1 = Φ2), y el Número de Oro menos 1 es igual a su inverso (Φ – 1 = 1/Φ).

Por tanto, si tomamos el Número de Oro (Φ = 1,6180), su cuadrado puede obtenerse simplemente sumándole la unidad (Φ2 = 2,6180), y su inverso resultará de restarle la unidad (1/Φ = 0,6180). Puedes comprobarlo con una calculadora.

Además, también puedes hallar este sorprendente número como un juego, mediante la Serie de Fibonacci [5], obtenida repitiendo el 1 y sumando dos números consecutivos para generar el siguiente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584, 4.181, 6.765, 10.946, 17.711, 28.657, 46.368, 75.025, 121.393…

Como veremos, el 377, el número 14º de la Serie de Fibonacci, se halla en la Gran Pirámide. Y a partir de la fracción 377/233, el cociente de dos números consecutivos es igual a 1,6180, ya que la Serie de Fibonacci cuanto más altos son los números, presenta aproximaciones más exactas al Número de Oro: 377/233 ≈ 610/377 ≈ 987/610 ≈ 1.597/987 ≈ 1,6180. Así, si te animas a calcular la fracción 121.393/75.025 = 1,6180339887, podrás obtener hasta 10 cifras decimales exactas.

La Serie de Fibonacci presenta algunas particularidades que parecen dirigidas a los amantes de las curiosidades matemáticas. Así, por ejemplo, el número 12 de la Serie de Fibonacci es el 144, que es el cuadrado de 12.

Además, Plutarco explica que los antiguos egipcios llamaban al 16 el número cuadrado ya que era, a la vez, el perímetro y el área de un cuadrado de lado 4, pues ambos son igual a 4 x 4. Y curiosamente el número 16  de la Serie de Fibonacci es el 987 que equivale al cuadrado de 10 veces el número Π, por lo que podemos relacionar al número 987, a la vez, al cuadrado (porque se obtiene a través de un número cuadrado) y al círculo (porque ese número cuadrado se obtiene a través de Π, del Número de las Esferas).

Figura 8. El Número de Oro en la naturaleza. El llamado Ángulo Áureo se obtiene al dividir los 360º de la circunferencia por el cuadrado del Número de Oro (2,6180); esta disposición de las hojas de las plantas permite el mejor asoleo de las mismas.

El Número de Oro, Proporción Áurea o Divina Proporción se halla en el ser humano, escondida en todos nosotros. Puedes comprobarlo. Toma una cinta métrica, mide tu altura y divídela por 1,6180. Hallarás la altura de tu ombligo que fue, ni más ni menos, que el primer canal de tu vida.

Así, si tu altura es de 1,83 m, la de tu ombligo será, más o menos, de 1,13 m; si mides 1,75 m, tu ombligo se hallará alrededor de 1,08 m; y si mides 1,67 m, encontrarás tu ombligo cerca de 1,03 m.

Igualmente, el doble de la altura de tu ombligo será la máxima altura hasta donde llegues con la punta de los dedos, al poner tu brazo vertical. Si tu altura es de 1,83 m, llegarás hasta 2,26 m; si es de 1,75 m, te alargarás hasta 2,16 m; y si es de 1,67 m, alcanzarás hasta 2,06 m.

Pero la Proporción Áurea no sólo se halla en el ser humano, sino que geométricamente a través de la espiral logarítmica, se halla en las plantas, como en las pipas de girasol, o en los moluscos, como en el nautilus (fig. 8)

3. El Número e es la base de los logaritmos [6] neperianos o naturales, y permite definir el trazado de una catenaria [8], es decir, la curva que adopta un collar, una cuerda o una cadena perfectamente flexibles, fijados por los extremos y suspendidos libremente.

Su valor es 2,7182818284 y se suele expresar como 2,7183. No fue descubierto hasta 1614 por el matemático escocés John Napier [7].

Y los tres números irracionales que acabamos de ver (Pi, Fi y e), se pueden obtener con mucha aproximación en la Gran Pirámide. Veamos algunos casos:

1. La mitad del Número Π (3,1416 / 2 = 1,5708).

Se obtiene aproximadamente de la proporción entre el lado de la base de la pirámide (440 cr) y su altura (280 cr). Por tanto, si dividimos el perímetro de la base cuadrada (440 x 4 = 1.760 cr) por su altura (280 cr), obtendremos 2 veces Π.

De ello se deduce que dicho perímetro (1.760 cr) equivalía al perímetro de un círculo que tuviera por radio su altura (280 x 2 Π = 1.759,3 cr). Esta relación fue descubierta por el matemático inglés John Taylor (fig. 9).

¿Se trataba de una sutil referencia a la imposible cuadratura del círculo?

2. El Número de Oro (1,6180).

Se obtiene por aproximación (fig. 10) dividiendo la medida comúnmente aceptada de la apotema (356,1 cr) por la semibase (220 cr). Probablemente ya se conocía en la antigüedad que el Número de Oro se hallaba en la Gran Pirámide.

3. La mitad del Número e (2,7183 / 2 = 1,3591).

Se obtiene aproximadamente de la proporción (fig. 10) entre el ángulo de inclinación con la base (que hasta hoy se consideraba como α = 51,8428º), y la mitad del ángulo en el vértice (β = 38,1572º). Este hecho ha sido puesto de manifiesto por el investigador estadounidense Rick Howard.

El perímetro de la base cuadrada (en rojo) equivale al perímetro del círculo. La proporción entre apotema y semibase equivale al número Φ (triángulo amarillo).

     Figura 9. El perímetro de la base cuadrada (en rojo) equivale al perímetro del círculo que toma por radio la altura (en azul).

Figura 10. La proporción entre apotema y semibase equivale al Número de Oro o Número Φ (triángulo amarillo). La proporción entre los ángulos α y β equivale a la mitad del Número e (triángulo rojo).

No obstante, el dato científico más sorprendente es la relación, conocida desde la antigüedad, entre la distancia al Sol en el perihelio [9], de 147.098.660 km, y la altura total de la Gran Pirámide con el zócalo incluido, de 147,134 m.

Esta relación inicialmente podía parecer increíble ya que ¡la distancia mínima al Sol equivale a 1.000 millones de veces la altura de la Gran Pirámide!… Y se cumple con una aproximación de un 99,98%.

Además, el ingeniero, geógrafo y arqueólogo francés Edme François Jomard [10], uno de los científicos más destacados que participó en la expedición de Napoleón Bonaparte a Egipto, relacionó la Gran Pirámide con las medidas de la Tierra, un hecho que según algunos autores, ya había avanzado el historiador y geógrafo griego Agatárquides [11].

La Gran Pirámide contenía, pues, unos conocimientos científicos desconcertantes. Y a través de las matemáticas y la geometría, la astronomía y la geodesia, la Gran Pirámide de Keops ya nos ofrecía importantes relaciones científicas antes de proceder a su reconstrucción informática y a su posterior análisis.


[1] Sir William Matthew Flinders Petrie (1853 – 1942) es considerado el padre de la arqueología egipcia y el primer egiptólogo científico. Descubrió la irregularidad de las caras laterales de la Gran Pirámide, con sus apotemas ligeramente hundidas hacia el centro del monumento. Realizó el primer trabajo de metrología científica de la Gran Pirámide que publicó en su libro Pirámides y Templos de Giza. Sus estudios le sirvieron para desmentir las especulaciones pseudocientíficas de Piazzi Smyth. Es considerado uno de los arqueólogos más brillantes de la egiptología. Participó en más de una treintena de excavaciones en Egipto y Palestina, y realizó más de un millar de publicaciones.

[2] En este libro André Pochan (1891 – ?) hace la descripción de la Gran Pirámide más detallada, profunda y rigurosa que se conoce, a pesar de que su importante error en la datación del monumento le hizo perder credibilidad.

[3] En la notación histórica se pasa del año 1 aC. al año 1 dC., mientras que en la notación astronómica hay un año 0, de tal forma que la secuencia de los años es …, -2, -1, 0, 1, 2, …

[4] Herodoto (Halicarnaso -479, Atenas -419) recogió sus Historias en nueve libros. En  el segundo de ellos, Euterpe, hace una detallada aunque inexacta descripción de los monumentos de Giza.

[5] Esta serie toma su nombre de un matemático italiano, Leonardo Fibonacci o Leonardo de Pisa (1170 – 1240).

[6] El logaritmo de un número es el exponente a que debe elevarse otro número, llamado base, para obtener el primero. Así, por ejemplo, el logaritmo de 100 es 2, ya que 102 = 100, donde 100 es el número y 10 es la base. Los logaritmos se usan especialmente para cálculos astronómicos.

[7] John Napier (1550 – 1617) definió los logaritmos naturales a partir de comparar progresiones aritméticas y geométricas.

[8] Su fórmula es y = (ex + e-x)/2, en la que y, x son las coordenadas que definen la catenaria.

[9] La mínima distancia entre el Sol y la Tierra.

[10] Edme François Jomard (1777 – 1862) trabajó en la redacción y publicación de la monumental obra Descripción de Egipto.

[11] Este geógrafo e historiador griego nació en Cnido hacia -149.